Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 2 & 2 - 1 & 6 & - 2 6 & 2.2 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 2 \\ - 1 & 6 & - 2 \\ 6 & 2.2 & 8 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 2.2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 2.2 & 8 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 2.2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 2.2 & 8 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 2 6 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 & - 2 \\ 6 & 8 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

- 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 2 6 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 2 \\ 6 & 8 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 6 6 & 2.2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 & 6 \\ 6 & 2.2 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 6 6 & 2.2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 | \begin{array}{c} - 1 & 6 \\ 6 & 2.2 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 2.2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 2 6 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 6 6 & 2.2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 2.2 & 8 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 2 \\ 6 & 8 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 1 & 6 \\ 6 & 2.2 \end{array} |$

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 2.2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 2 6 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 6 6 & 2.2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 2.2 & 8 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 2 \\ 6 & 8 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 1 & 6 \\ 6 & 2.2 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez

0

$0$ par

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 2.2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 2.2 & 8 \end{array} |$ .

0 - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 2 6 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 6 6 & 2.2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 2 \\ 6 & 8 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 1 & 6 \\ 6 & 2.2 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 2 6 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 & - 2 \\ 6 & 8 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

0 - 2 (- 1 \cdot 8 - 6 \cdot - 2) + 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 6 6 & 2.2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 - 2 (- 1 \cdot 8 - 6 \cdot - 2) + 2 | \begin{array}{c} - 1 & 6 \\ 6 & 2.2 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

8

$8$ .

0 - 2 (- 8 - 6 \cdot - 2) + 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 6 6 & 2.2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 - 2 (- 8 - 6 \cdot - 2) + 2 | \begin{array}{c} - 1 & 6 \\ 6 & 2.2 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez

- 6

$- 6$ par

- 2

$- 2$ .

0 - 2 (- 8 + 12) + 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 6 6 & 2.2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 - 2 (- 8 + 12) + 2 | \begin{array}{c} - 1 & 6 \\ 6 & 2.2 \end{array} |$

0 - 2 (- 8 + 12) + 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 6 6 & 2.2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 - 2 (- 8 + 12) + 2 | \begin{array}{c} - 1 & 6 \\ 6 & 2.2 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Additionnez

- 8

$- 8$ et

12

$12$ .

0 - 2 \cdot 4 + 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 6 6 & 2.2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 - 2 \cdot 4 + 2 | \begin{array}{c} - 1 & 6 \\ 6 & 2.2 \end{array} |$

0 - 2 \cdot 4 + 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 6 6 & 2.2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 - 2 \cdot 4 + 2 | \begin{array}{c} - 1 & 6 \\ 6 & 2.2 \end{array} |$

0 - 2 \cdot 4 + 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 6 6 & 2.2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 - 2 \cdot 4 + 2 | \begin{array}{c} - 1 & 6 \\ 6 & 2.2 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 6 6 & 2.2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 & 6 \\ 6 & 2.2 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 - 2 \cdot 4 + 2 (- 1 \cdot 2.2 - 6 \cdot 6)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$2.2$ .

$0 - 2 \cdot 4 + 2 (- 2.2 - 6 \cdot 6)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

$- 6$ par

$6$ .

$0 - 2 \cdot 4 + 2 (- 2.2 - 36)$

Étape 4.2.2

Soustrayez

$36$ de

$- 2.2$ .

$0 - 2 \cdot 4 + 2 \cdot - 38.2$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez

$- 2$ par

$4$ .

$0 - 8 + 2 \cdot - 38.2$

Étape 5.1.2

Multipliez

$2$ par

$- 38.2$ .

$0 - 8 - 76.4$

Étape 5.2

Soustrayez

$8$ de

$0$ .

$- 8 - 76.4$

Étape 5.3

Soustrayez

$76.4$ de

$- 8$ .

$- 84.4$